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黎曼猜想是数学中一个非常重要的未解决问题，与素数分布的精确性质有关（素数是那些只能被 1 和自身整除的数字，它们在数论中扮演着基础性的角色）。
在当今的数学文献中，已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。也就是说，黎曼猜想及其推广形式一旦被证明，这一千多个命题将被确立为定理，对数学领域产生深远的影响；而如果黎曼猜想被证明是错误的，那么这些命题中的一部分也将随之失去其有效性。
新的突破来自 MIT 数学教授 Larry Guth 和牛津大学数学研究所教授、菲尔兹奖得主 James Maynard 的一篇论文。推荐该论文的数学家陶哲轩表示，他们对黎曼 zeta 函数零点的经典 1940 年 Ingham 界限进行了首次实质性改进（更广泛地说，是控制各种狄利克雷级数的大值）。此前，诞生已超过 80 年的 Ingham 界限由于缺乏改进，限制了数学家在解析数论中做很多事情。
不过，陶哲轩也表示，尽管这是一个显著突破，但距离完全解决黎曼猜想还有很大距离，因此应理性看待。
黎曼猜想是什么？
黎曼猜想或黎曼假设（Riemann Hypothesis）由德国数学家 Bernhard Riemann 于 1859 年提出。这个猜想与素数的分布密切相关，其核心内容涉及黎曼 ζ 函数（Riemann Zeta Function）的非平凡零点。
黎曼猜想的内容无法用完全初等的数学来描述。粗略地说， 它是针对一个被称为黎曼 ζ 函数的复变量函数 (即变量与函数值都可以在复数域中取值的函数) 的猜想。黎曼 ζ 函数跟许多其它函数一样， 在某些点上的取值为零， 那些点被称为黎曼 ζ 函数的零点。在那些零点中， 有一部分特别重要的被称为黎曼 ζ 函数的非平凡零点。黎曼猜想所猜测的是那些非平凡零点全都分布在一条被称为 「临界线」的特殊直线上（引自科普作家卢昌海博客）。
黎曼猜想认为，所有 ζ 函数的非平凡零点的实部都为 1/2。这意味着，如果 ζ(s)=0 且 s 是非平凡零点（即 s 不是负偶数），那么 s 的实部应为 1/2。
黎曼猜想是当今世界上最重要、最期待解决的数学难题。若猜想成立，则可以精确描述素数在自然数中的分布情况，并在解决数论、复分析和其他数学分支中具有广泛的应用和影响。
迄今为止，距离黎曼猜想提出已经过去了 165 年。关于尝试证明黎曼猜想的研究出现了很多，但均无疾而终。
关于解决黎曼猜想的尝试
自黎曼猜想提出以来，很多数学家便开始了探索证明之旅。
1896 年，法国数学家雅克・阿达马和 Charles Jean de la Vallée-Poussin 分别独立地证明了在直线上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域上。这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。
1900 年，德国数学家、现代数学之父之一大卫・希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的 23 条问题中，与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上的第 8 号问题。同时黎曼猜想也是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖难题。
1914 年，英国数学家高德菲・哈罗德・哈代证明了有无限个零点在直线 图片 上。后来哈代与英国数学家约翰・恩瑟・李特尔伍德在 1921 年及塞尔伯格在 1942 年的工作（临界线定理）也就是计算零点在临界线 图片 上的平均密度。
直到最近几年，对黎曼猜想的证明尝试往往也会引起轰动。
2018 年 9 月，一场在海德堡盛况空前的演讲引爆了数学圈，89 岁的阿蒂亚爵士对黎曼猜想的证明吸引了全球关注。在万众瞩目之下，阿蒂亚爵士用 45 分钟的时间向全世界展示对这个有着一百五十多年历史的数学猜想的证明。
不过阿蒂亚爵士的证明只有以下一页 PPT。这样的证明，似乎无法让人信服。当被问及是否解决了黎曼猜想时，他回应称，「这是由你的逻辑决定的。原始的黎曼猜想我是证明了，除非你是那种不接受反证法的数学家。」他也补充说，其证明没有解决所有问题，后续还有很多问题，自己只是走了第一步（第一步就是解决方案）。
遗憾的是，阿蒂亚爵士已经于 2019 年 1 月去世了。
如今，又有人向黎曼猜想发起了挑战。
Guth 和 Maynard 做了什么
对于 Guth 和 Maynard 的新突破，知名数学家陶哲轩评价道：「Guth 和 Maynard 在研究黎曼猜想方面取得了重要进展，尽管离解决这一历史悠久的数学问题还有很长的路要走 。」
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