1 三点定圆原理
以O点为圆心，以d为直径的圆，作圆的两条切线AO′、BO′交于点O′，交角为2β，连接OO′交圆周于点C，故∠AO′O＝∠BO′O＝β，在直角三角形OAO′中
OO′sinβ＝OA (1)
OA＝OB＝OC＝d／2 (2)
O′C＝OO′-OC (3)
将式(1)、式(2)代入式(3)，则
O′C＝d／2sinβ-d/2
＝(1-sinβ)d/2sinβ (4)
d＝2sinβO′C／（1－sinβ） (5)
式中β和O′C可测出，所以d值可求。
2 量具结构
利用上述关系式，设计了专用量具，固定角β后测得O′C值，代入式(5)计算即可。
量具结构，主要由测量爪1、角度盘3、读数头4组成。
2.1 测量爪
测量时采用面接触，测量爪1的工作面通过自己的回转中心并延伸到另一侧，以便确定β角。测量爪用螺栓固定在回转中心上，为保证其稳定性和准确性，调整β角后，再用螺栓3将测量爪固定在角度盘上(两侧测量爪对中线夹角β相等)。
2.2 读数头
读数头4选用千分尺结构，为实现标准化，可采用标准深度千分尺读数 ，用以测量O′C值。
2.3 角度盘
角度盘2为量具主体，上面刻有供测量爪调整角度的刻度和装配测量爪用的中心(即测量爪回转中心)孔，同时在角度盘对称线上加工出装配读数头用的配合孔，装配时采用过盈配合。
2.4 量具的调零
将量具在一个标准环上通过标准读数头的微调零装置调零(即测量爪中心)。
3 齿轮测量
3.1 测量齿顶圆直径da
无论奇数齿或偶数齿齿轮，测量时调整β角，确保两测量爪(图中AO′、BO′)工作面与轮齿中线附近(OA、OB)的齿顶圆相切，转动读数头旋钮，使伸入端O′C顶到中间轮齿的齿顶C点上(跨齿数为奇数)，读出O′C值，并将O′C和β值代入式(5)，即可计算齿顶圆直径
da＝2sinβO′C／（1－sinβ） （6）
3.2 测量齿根圆直径df
O′A、O′B为两测量爪，调整β角，使测量爪工作面与齿轮轮齿中线附近齿顶相切，转动读数头旋钮，使伸入端OE顶到齿根圆E点上(跨齿数为偶数)，读出OE值，由于
OO′＝AO／sinβ＝da／2sinβ (7)
OE＝OO′－O′E （8）
OE＝df／2＝da／2sinβ－O′E
df＝da／sinβ－2O′E （9）
3.3 齿轮参数的确定
完成da、df的测量，即可按通常方法计算齿轮的各参数。
4 注意事项
调整β角时，应使两测量爪与角度盘对称线的夹角β相等；测量时尽量调整到使测量爪与轮齿中线附近的齿顶圆相切；测量齿顶圆时，跨齿数为奇数；测量齿根圆时，跨齿数为偶数；测量时，使测量爪所在平面与被测齿轮轴线垂直。
5 量具的误差分析
作为量具，首先必须要满足精度要求。
5.1 量具的系统误差
由式(5)可知，夹角误差和读数头误差直接影响系统误差。
由于误差比较小，对式(5)全微分，得
Δd＝2sinβΔΟ′C／（1－sinβ）
＋2O′CcosβΔβ／（1－sinβ）2 （10）
由此可见，2sinβ／（1－sinβ）为常数，这说明ΔOC对Δd的影响为固定线性关系；而O′Ccosβ／（1－sinβ）2与O′C的值成比例关系，说明Δβ对Δd的影响关系与被测直径成比例关系。以上说明系统误差是有规律的，设计制造时尽量减小那些对直径误差影响较大的参数误差。设计制造后，可通过修正系数消除系统误差。
5.2 随机误差
测量过程中，测量力的大小、量具的变形、测量时的温度、夹持位置的不同及读数误差等，都会产生一些不确定的误差，这些误差，可通过控制测量环境和反复多次测量等手段将其降到最小程度，使之满足测量要求。
6 结论
对实际齿轮进行测量，结果表明原理正确、结论可靠；量具结构简单，便于制造，易推广，且可用于大轴径和圆弧面曲率半径的测量，误差适中，体积、重量适当，便于测量。
